【解析几何例题及答案解析】解析几何是数学中一个重要分支，主要研究几何图形与代数方程之间的关系。通过坐标系将几何问题转化为代数问题，从而更方便地进行计算和分析。以下是一些典型的解析几何例题及其详细解答过程，帮助读者更好地理解和掌握相关知识点。

一、例题1：求直线方程

题目：已知点A(2, 3)和点B(4, 7)，求过这两点的直线方程。

解题思路：

1. 计算斜率 $ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{7 - 3}{4 - 2} = 2 $

2. 使用点斜式方程：$ y - y_1 = k(x - x_1) $

3. 代入点A(2, 3)，得：$ y - 3 = 2(x - 2) $

化简后得到：

$ y = 2x - 1 $

二、例题2：圆的标准方程

题目：已知圆心为C(-1, 2)，半径为3，求该圆的标准方程。

解题思路：

圆的标准方程为：

$ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 $

其中，$(a, b)$ 是圆心，$r$ 是半径。

代入数据得：

$ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 9 $

三、例题3：点到直线的距离

题目：求点P(1, 5)到直线 $ 2x + 3y - 6 = 0 $ 的距离。

解题公式：

点 $ (x_0, y_0) $ 到直线 $ Ax + By + C = 0 $ 的距离为：

$$ d = \frac{Ax_0 + By_0 + C}{\sqrt{A^2 + B^2}} $$

代入数据得：

$$ d = \frac{2×1 + 3×5 - 6}{\sqrt{2^2 + 3^2}} = \frac{2 + 15 - 6}{\sqrt{13}} = \frac{11}{\sqrt{13}} $$

四、例题4：两直线交点

题目：求直线 $ y = 2x + 1 $ 和 $ y = -x + 4 $ 的交点。

解题思路：

联立方程：

$$

\begin{cases}

y = 2x + 1 \\

y = -x + 4

\end{cases}

$$

令两边相等：

$ 2x + 1 = -x + 4 $

解得：$ 3x = 3 \Rightarrow x = 1 $

代入任一方程，得：$ y = 2×1 + 1 = 3 $

交点为：(1, 3)

五、例题5：椭圆的焦点

题目：已知椭圆方程为 $ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 $，求其焦点坐标。

解题思路：

椭圆标准形式为：

$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $（假设 $ a > b $）

其中，焦点在x轴上，坐标为 $ (\pm c, 0) $，其中 $ c = \sqrt{a^2 - b^2} $

代入数据得：

$ a^2 = 25 $，$ b^2 = 9 $，所以 $ c = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 $

焦点坐标为：(±4, 0)

六、例题6：抛物线的顶点与开口方向

题目：求抛物线 $ y = 2(x - 3)^2 + 5 $ 的顶点和开口方向。

解题思路：

抛物线的标准形式为：

$ y = a(x - h)^2 + k $，顶点为 $ (h, k) $，若 $ a > 0 $，开口向上；若 $ a < 0 $，开口向下。

本题中，$ a = 2 > 0 $，顶点为 (3, 5)

结论：顶点为 (3, 5)，开口向上

七、例题7：两点间距离

题目：求点A(−3, 4)与点B(2, −1)之间的距离。

解题公式：

两点间距离公式为：

$$ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $$

代入数据得：

$$ d = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (-1 - 4)^2} = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} $$

八、例题8：直线与圆的位置关系

题目：判断直线 $ y = x + 1 $ 与圆 $ x^2 + y^2 = 4 $ 的位置关系。

解题思路：

将直线方程代入圆的方程，消元后解判别式：

代入得：

$ x^2 + (x + 1)^2 = 4 $

展开并整理：

$ x^2 + x^2 + 2x + 1 = 4 $

$ 2x^2 + 2x - 3 = 0 $

判别式 $ D = 2^2 - 4×2×(-3) = 4 + 24 = 28 > 0 $

结论：直线与圆相交于两点

九、总结表格

以上是部分解析几何的经典例题及详细解答，涵盖了直线、圆、椭圆、抛物线等基本几何对象的性质和应用。希望对学习解析几何的同学有所帮助。

以上就是【解析几何例题及答案解析】相关内容，希望对您有所帮助。