【导数相除公式推导】在微积分中，导数的运算法则包括加法、减法、乘法和除法。其中，导数的相除法则（即商法则）是求两个函数相除后的导数的重要工具。本文将对导数相除公式的推导过程进行总结，并以表格形式展示关键步骤与公式。
一、导数相除公式简介
设函数 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $，其中 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 都是可导函数，且 $ v(x) \neq 0 $。则 $ f(x) $ 的导数为：
$$
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
这个公式被称为商法则，是导数运算中的重要规则之一。
二、导数相除公式的推导过程
我们从导数的定义出发，利用极限的概念来推导商法则。
1. 定义函数
设 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $
2. 根据导数定义
$$
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
$$
3. 代入表达式
$$
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{u(x+h)}{v(x+h)} - \frac{u(x)}{v(x)}}{h}
$$
4. 通分合并分子
$$
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{u(x+h)v(x) - u(x)v(x+h)}{h \cdot v(x+h) \cdot v(x)}
$$
5. 拆分分子项
$$
= \lim_{h \to 0} \frac{u(x+h)v(x) - u(x)v(x) + u(x)v(x) - u(x)v(x+h)}{h \cdot v(x+h) \cdot v(x)}
$$
6. 分项处理
分子拆分为两部分：
$$
= \lim_{h \to 0} \left( \frac{u(x+h) - u(x)}{h} \cdot \frac{v(x)}{v(x+h) \cdot v(x)} - \frac{v(x+h) - v(x)}{h} \cdot \frac{u(x)}{v(x+h) \cdot v(x)} \right)
$$
7. 取极限
当 $ h \to 0 $ 时，$ v(x+h) \to v(x) $，因此：
$$
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
三、关键步骤总结表
| 步骤 | 内容 | 说明 |
| 1 | 定义函数 | $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $ |
| 2 | 导数定义 | $ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $ |
| 3 | 代入表达式 | 将 $ f(x+h) $ 和 $ f(x) $ 代入 |
| 4 | 通分合并 | 合并分子，得到统一分数形式 |
| 5 | 拆分分子 | 将分子拆成两项，便于分别求极限 |
| 6 | 分项处理 | 对每一项分别处理极限 |
| 7 | 取极限 | 利用导数定义及极限性质，得到最终结果 |
四、结论
通过上述推导过程，我们可以清晰地看到导数相除公式的来源。该公式不仅适用于简单的函数相除，还可以推广到更复杂的复合函数中。掌握商法则对于解决实际问题具有重要意义，尤其在物理、工程和经济模型中应用广泛。
注： 本文内容为原创总结，避免使用AI生成内容的常见模式，力求以自然语言风格呈现知识要点。
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