【tanx的n阶泰勒公式】在数学分析中，泰勒公式是将一个函数展开为无穷级数的一种重要方法。对于函数 $ \tan x $，它在 $ x = 0 $ 处（即麦克劳林展开）的泰勒展开式具有重要的应用价值。由于 $ \tan x $ 是奇函数，其泰勒展开式只包含奇次幂项。

以下是对 $ \tan x $ 的 n 阶泰勒公式的总结，并以表格形式展示其展开形式和相关系数。

一、tanx的n阶泰勒公式总结

$ \tan x $ 在 $ x = 0 $ 处的泰勒展开式为：

$$

\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \cdots

$$

该展开式仅包含奇数次幂项，且系数与伯努利数有关。具体地，第 $ (2k+1) $ 次项的系数为：

$$

\frac{(-1)^{k-1} 2^{2k}(2^{2k} - 1) B_{2k}}{(2k)!}

$$

其中 $ B_{2k} $ 是第 $ 2k $ 个伯努利数。

二、tanx的n阶泰勒展开式表

三、说明

- 上述展开式仅在 $ x < \frac{\pi}{2} $ 内有效。

- 实际计算中，高阶项的系数较为复杂，通常通过递推公式或已知的伯努利数来计算。

- 若需更高阶的展开，可参考相关的数学手册或使用计算机代数系统（如 Mathematica 或 Maple）进行计算。

四、小结

$ \tan x $ 的 n 阶泰勒公式是一个典型的奇函数展开，其结构简洁且具有对称性。理解其展开形式有助于在微积分、物理和工程中进行近似计算和理论分析。通过表格形式可以清晰地看到各项的系数变化规律，便于记忆和应用。

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