【两数差的立方公式是什么】在数学中，多项式展开是常见的运算之一。其中，“两数差的立方”是一个重要的代数公式，常用于简化计算或推导其他数学表达式。掌握这一公式对于学习代数、微积分乃至更高级的数学内容都有重要意义。
一、公式总结
两数差的立方，指的是形如 $(a - b)^3$ 的表达式的展开形式。其公式为：
$$
(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3
$$
这个公式可以看作是将 $(a - b)$ 自乘三次后的结果。通过展开，我们可以得到上述的四次项结构。
二、公式解析
- 第一项：$a^3$，表示 $a$ 的三次方；
- 第二项：$-3a^2b$，是 $a$ 的平方与 $b$ 相乘后乘以负三；
- 第三项：$+3ab^2$，是 $a$ 与 $b$ 的平方相乘后乘以正三；
- 第四项：$-b^3$，表示 $b$ 的三次方。
整个公式遵循“符号交替”的规律，即正负交替出现，且各项的系数符合二项式定理中的组合数。
三、表格展示
| 项 | 公式部分 | 说明 |
| 1 | $a^3$ | $a$ 的三次方 |
| 2 | $-3a^2b$ | $a$ 的平方乘以 $b$，再乘以 -3 |
| 3 | $+3ab^2$ | $a$ 乘以 $b$ 的平方，再乘以 +3 |
| 4 | $-b^3$ | $b$ 的三次方 |
四、实际应用举例
例如，若 $a = 2$，$b = 1$，则：
$$
(2 - 1)^3 = 1^3 = 1
$$
根据公式展开：
$$
2^3 - 3 \cdot 2^2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 \cdot 1^2 - 1^3 = 8 - 12 + 6 - 1 = 1
$$
结果一致，验证了公式的正确性。
五、小结
两数差的立方公式是：
$$
(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3
$$
它是代数运算中的基础工具，适用于多种数学问题的解决。通过理解并掌握该公式，可以提升对多项式展开和因式分解的理解能力。
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