【《高等数学》上册期末考试题附答案】在大学的课程学习中，《高等数学》作为一门基础且重要的学科，一直是理工科学生必修的核心课程之一。为了帮助同学们更好地复习和掌握所学知识，本文整理了一份《高等数学》上册的期末考试题，并附有详细解答，旨在为备考的同学提供参考与指导。
本试卷涵盖的内容主要包括函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分与定积分、以及微分方程的基本概念等知识点，全面覆盖了《高等数学》上册的主要内容。
一、选择题（每题3分，共15分）
1. 当 $ x \to 0 $ 时，下列哪个函数是 $ x $ 的高阶无穷小？
A. $ \sin x $
B. $ \tan x $
C. $ \ln(1+x) $
D. $ e^x - 1 $
2. 函数 $ f(x) = x^3 - 3x $ 在区间 $ [0, 2] $ 上的最大值为：
A. 0
B. 2
C. 4
D. -2
3. 设 $ y = \ln(\cos x) $，则 $ y' = $ ?
A. $ \tan x $
B. $ -\tan x $
C. $ \cot x $
D. $ -\cot x $
4. 下列哪一个积分的结果是 $ \frac{1}{2} \ln|x^2 + 1| + C $？
A. $ \int \frac{x}{x^2 + 1} dx $
B. $ \int \frac{1}{x^2 + 1} dx $
C. $ \int \frac{x}{x^2 - 1} dx $
D. $ \int \frac{1}{x^2 - 1} dx $
5. 微分方程 $ y' = xy $ 的通解为：
A. $ y = Ce^{x^2/2} $
B. $ y = Ce^{-x^2/2} $
C. $ y = Cx $
D. $ y = C \ln x $
二、填空题（每题4分，共20分）
1. 极限 $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = \_\_\_\_\_ $。
2. 若 $ f(x) = \sqrt{x^2 + 1} $，则 $ f'(x) = \_\_\_\_\_ $。
3. 曲线 $ y = x^3 - 3x $ 在点 $ (1, -2) $ 处的切线方程为 ______。
4. 不定积分 $ \int x e^x dx = \_\_\_\_\_ $。
5. 微分方程 $ y'' + 4y = 0 $ 的通解为 ______。
三、计算题（每题10分，共40分）
1. 求极限 $ \lim_{x \to 0} \left( \frac{1 + \sin x}{1 - \sin x} \right)^{1/x} $。
2. 设 $ y = \arctan(\sqrt{x}) $，求 $ dy/dx $。
3. 计算定积分 $ \int_0^1 x^2 \ln x \, dx $。
4. 解微分方程 $ y' + y = e^x $。
四、证明题（10分）
设函数 $ f(x) $ 在区间 $ [a, b] $ 上连续，在 $ (a, b) $ 内可导，且 $ f(a) = f(b) $。试用罗尔定理证明：存在 $ \xi \in (a, b) $，使得 $ f'(\xi) = 0 $。
五、应用题（15分）
某工厂生产一种产品，其总成本函数为 $ C(x) = 1000 + 5x + 0.1x^2 $，其中 $ x $ 表示产量。若该产品的售价为每件 10 元，问：当产量为多少时，利润最大？并求出最大利润是多少？
参考答案
一、选择题
1. D
2. C
3. B
4. A
5. A
二、填空题
1. 2
2. $ \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} $
3. $ y = -2x $
4. $ x e^x - e^x + C $
5. $ y = C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x $
三、计算题
1. $ e^2 $
2. $ \frac{1}{2\sqrt{x}(1 + x)} $
3. $ -\frac{1}{4} $
4. $ y = e^x(C + 1) $
四、证明题
略（依据罗尔定理直接得出）
五、应用题
当产量为 25 件时，利润最大；最大利润为 625 元。
通过这份试卷的练习，可以帮助学生系统地回顾《高等数学》上册的重点内容，提升解题能力与应试技巧。希望同学们在复习过程中不断巩固基础知识，提高逻辑思维和数学分析能力，顺利通过期末考试。
