【线性代数习题及答案】在学习线性代数的过程中，练习是巩固知识、提升解题能力的重要途径。通过大量的习题训练，不仅可以加深对概念的理解，还能提高运算技巧和逻辑思维能力。本文将提供一些具有代表性的线性代数题目，并附上详细的解答过程，帮助读者更好地掌握相关知识点。
一、行列式计算
题目1：
计算下列三阶行列式的值：
$$
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9 \\
\end{vmatrix}
$$
解析：
我们可以使用展开法或对角线法则进行计算。这里采用对角线法则：
$$
= 1 \cdot 5 \cdot 9 + 2 \cdot 6 \cdot 7 + 3 \cdot 4 \cdot 8 - 3 \cdot 5 \cdot 7 - 2 \cdot 4 \cdot 9 - 1 \cdot 6 \cdot 8
$$
$$
= 45 + 84 + 96 - 105 - 72 - 48 = 225 - 225 = 0
$$
答案： 行列式的值为 0。
二、矩阵运算
题目2：
设矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $，求 $ A^2 $。
解析：
矩阵的平方即为矩阵与自身的乘积：
$$
A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}
$$
计算每个元素：
- 第一行第一列：$ 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 = 1 + 6 = 7 $
- 第一行第二列：$ 1 \cdot 2 + 2 \cdot 4 = 2 + 8 = 10 $
- 第二行第一列：$ 3 \cdot 1 + 4 \cdot 3 = 3 + 12 = 15 $
- 第二行第二列：$ 3 \cdot 2 + 4 \cdot 4 = 6 + 16 = 22 $
所以，
$$
A^2 = \begin{bmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{bmatrix}
$$
答案： $ A^2 = \begin{bmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{bmatrix} $
三、向量空间与基
题目3：
判断向量组 $ \vec{v}_1 = (1, 2, 3) $, $ \vec{v}_2 = (4, 5, 6) $ 是否线性无关。
解析：
要判断向量是否线性无关，可以构造一个由这些向量组成的矩阵，并计算其行列式。若行列式不为零，则线性无关；否则线性相关。
构造矩阵：
$$
B = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}
$$
由于这是一个 3×2 矩阵，无法直接计算行列式。我们可以考虑是否存在非零的线性组合使得结果为零向量。例如，假设存在实数 $ a $ 和 $ b $，使得：
$$
a \vec{v}_1 + b \vec{v}_2 = 0
$$
即：
$$
a(1, 2, 3) + b(4, 5, 6) = (0, 0, 0)
$$
得到方程组：
$$
\begin{cases}
a + 4b = 0 \\
2a + 5b = 0 \\
3a + 6b = 0
\end{cases}
$$
从第一个方程得 $ a = -4b $，代入第二个方程：
$$
2(-4b) + 5b = -8b + 5b = -3b = 0 \Rightarrow b = 0
$$
因此 $ a = 0 $，说明只有零解，因此这两个向量是线性无关的。
答案： 向量组线性无关。
四、特征值与特征向量
题目4：
求矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} $ 的特征值与特征向量。
解析：
首先计算特征多项式：
$$
\det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 2 - \lambda & 1 \\ 1 & 2 - \lambda \end{vmatrix} = (2 - \lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3
$$
令其等于零：
$$
\lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0 \Rightarrow (\lambda - 1)(\lambda - 3) = 0
$$
因此，特征值为 $ \lambda_1 = 1 $，$ \lambda_2 = 3 $。
对于 $ \lambda_1 = 1 $：
$$
(A - I)\vec{x} = 0 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \vec{x} = 0
$$
解得：$ x_1 + x_2 = 0 \Rightarrow x_1 = -x_2 $，特征向量可取为 $ \vec{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} $。
对于 $ \lambda_2 = 3 $：
$$
(A - 3I)\vec{x} = 0 \Rightarrow \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \vec{x} = 0
$$
解得：$ -x_1 + x_2 = 0 \Rightarrow x_2 = x_1 $，特征向量可取为 $ \vec{v}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} $。
答案：
特征值为 $ 1 $ 和 $ 3 $，对应的特征向量分别为 $ \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} $ 和 $ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} $。
结语
线性代数作为数学中的重要分支，在许多领域中都有广泛应用。通过不断练习，逐步掌握行列式、矩阵运算、向量空间、特征值等核心内容，能够有效提升数学分析能力和应用水平。希望本文提供的习题及解析能对您的学习有所帮助。
