【三角函数典型例题(6页)】在高中数学中，三角函数是一个重要的知识点，它不仅与几何图形密切相关，还广泛应用于物理、工程等领域。掌握好三角函数的基本概念和常见题型，对于提升数学成绩和解决实际问题都具有重要意义。本文将围绕三角函数的典型例题进行讲解，帮助学生深入理解其核心内容。
一、三角函数的基本概念
三角函数包括正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）等，它们是基于直角三角形的角度与边长之间的关系定义的。随着学习的深入，三角函数也被推广到单位圆上，从而可以处理任意角度的计算。
例题1：
已知一个角α的终边经过点P(3,4)，求sinα、cosα、tanα的值。
解析：
点P(3,4)位于第一象限，距离原点的距离为：
$$
r = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5
$$
因此，
$$
\sin\alpha = \frac{y}{r} = \frac{4}{5}, \quad \cos\alpha = \frac{x}{r} = \frac{3}{5}, \quad \tan\alpha = \frac{y}{x} = \frac{4}{3}
$$
二、三角函数的图像与性质
三角函数的图像具有周期性、对称性和振幅变化等特点。例如，正弦函数和余弦函数的周期为$2\pi$，而正切函数的周期为$\pi$。
例题2：
画出函数$y = 2\sin(x)$的图像，并指出其最大值、最小值和周期。
解析：
函数$y = 2\sin(x)$是正弦函数的垂直伸缩，振幅变为2。其图像与标准正弦函数相似，但最高点为2，最低点为-2，周期仍为$2\pi$。
三、三角恒等式与公式
三角恒等式是解决复杂三角函数问题的重要工具。常见的恒等式包括：
- $\sin^2x + \cos^2x = 1$
- $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$
- $\sin(x \pm y) = \sin x \cos y \pm \cos x \sin y$
例题3：
化简表达式：$\frac{\sin x}{1 + \cos x}$
解析：
我们可以使用恒等式进行化简：
$$
\frac{\sin x}{1 + \cos x} = \frac{\sin x (1 - \cos x)}{(1 + \cos x)(1 - \cos x)} = \frac{\sin x (1 - \cos x)}{1 - \cos^2x} = \frac{\sin x (1 - \cos x)}{\sin^2x} = \frac{1 - \cos x}{\sin x}
$$
进一步简化可得：
$$
\frac{1 - \cos x}{\sin x} = \tan\left(\frac{x}{2}\right)
$$
四、解三角形问题
在实际应用中，常常需要利用三角函数来解决三角形的边角关系问题，如正弦定理和余弦定理。
例题4：
在△ABC中，已知a=5，b=7，角C=60°，求c的长度。
解析：
根据余弦定理：
$$
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 60^\circ
$$
$$
= 25 + 49 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \frac{1}{2} = 74 - 35 = 39
$$
$$
c = \sqrt{39}
$$
五、综合应用题
这类题目通常结合多个知识点，考察学生的综合运用能力。
例题5：
已知$\sin\theta = \frac{3}{5}$，且θ在第二象限，求$\cos\theta$和$\tan\theta$的值。
解析：
因为θ在第二象限，所以$\cos\theta < 0$，$\tan\theta < 0$。
由$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$，得：
$$
\cos^2\theta = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}
$$
$$
\cos\theta = -\frac{4}{5}
$$
$$
\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}
$$
六、总结
通过以上例题可以看出，三角函数的学习不仅需要掌握基本概念和公式，还需要灵活运用各种方法解决实际问题。建议同学们在复习时多做练习，注重理解每一步推导的意义，逐步提高自己的解题能力。
希望本文对大家的学习有所帮助！
