【指数对数运算经典习题及答案-】在数学学习过程中，指数与对数的运算一直是高中数学的重要内容之一。它们不仅在代数中频繁出现，而且在实际问题的建模和解决中也具有广泛的应用价值。掌握好指数与对数的基本性质和运算规律，是提高数学解题能力的关键。
以下是一些经典的指数与对数运算题目及其解答，帮助同学们更好地理解和巩固相关知识。
一、选择题
1. 计算：$ 2^3 \times 2^5 = $
A. $ 2^8 $
B. $ 2^{15} $
C. $ 4^8 $
D. $ 8^5 $
解析：根据指数运算法则，同底数幂相乘时，指数相加。
$$
2^3 \times 2^5 = 2^{3+5} = 2^8
$$
答案：A
2. 若 $ \log_2 x = 3 $，则 $ x = $
A. 6
B. 8
C. 9
D. 12
解析：根据对数的定义，$ \log_a b = c \Rightarrow a^c = b $。
$$
\log_2 x = 3 \Rightarrow 2^3 = x \Rightarrow x = 8
$$
答案：B
3. 计算：$ \log_5 25 + \log_5 5 $
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
解析：
$$
\log_5 25 = \log_5 (5^2) = 2, \quad \log_5 5 = 1
$$
$$
\log_5 25 + \log_5 5 = 2 + 1 = 3
$$
答案：C
二、填空题
4. $ \ln e^2 = $ _______
解析：自然对数 $ \ln e^x = x $，所以
$$
\ln e^2 = 2
$$
答案：2
5. 若 $ \log_3 (x - 1) = 2 $，则 $ x = $ _______
解析：
$$
\log_3 (x - 1) = 2 \Rightarrow 3^2 = x - 1 \Rightarrow 9 = x - 1 \Rightarrow x = 10
$$
答案：10
三、解答题
6. 解方程：$ 3^{2x} = 81 $
解析：
将81表示为3的幂形式：
$$
81 = 3^4
$$
因此原方程变为：
$$
3^{2x} = 3^4 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2
$$
答案：x = 2
7. 化简：$ \log_2 8 + \log_2 \frac{1}{2} $
解析：
$$
\log_2 8 = \log_2 (2^3) = 3, \quad \log_2 \frac{1}{2} = \log_2 (2^{-1}) = -1
$$
$$
\log_2 8 + \log_2 \frac{1}{2} = 3 + (-1) = 2
$$
答案：2
四、拓展题
8. 已知 $ \log_2 a = 4 $，$ \log_2 b = 3 $，求 $ \log_2 (a^2 \cdot b) $
解析：
由已知得：
$$
\log_2 a = 4 \Rightarrow a = 2^4 = 16
\log_2 b = 3 \Rightarrow b = 2^3 = 8
$$
$$
a^2 \cdot b = (2^4)^2 \cdot 2^3 = 2^8 \cdot 2^3 = 2^{11}
$$
$$
\log_2 (a^2 \cdot b) = \log_2 (2^{11}) = 11
$$
答案：11
通过以上习题的练习，可以进一步加强对指数与对数运算的理解和应用能力。建议同学们在做题时注意运算规则，善于利用对数与指数之间的互换关系，提升解题效率。同时，多做一些变式题，有助于灵活应对各种类型的题目。
