在数学学习中，分式的计算是初中阶段的重要内容之一。它不仅涉及到分数的基本运算，还与代数知识紧密结合，是进一步学习方程、函数等知识点的基础。为了帮助同学们更好地掌握分式的计算方法，下面提供一些典型的分式计算练习题，并附有详细的解题思路，便于理解和巩固。
一、分式的加减法
1. 计算：
$$
\frac{2}{3} + \frac{5}{6}
$$
解析：
先找到两个分母的最小公倍数，3和6的最小公倍数是6。将第一个分数的分子和分母同时乘以2，得到 $\frac{4}{6}$，然后相加：
$$
\frac{4}{6} + \frac{5}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}
$$
2. 计算：
$$
\frac{7}{8} - \frac{3}{4}
$$
解析：
将第二个分数转换为以8为分母的形式：$\frac{3}{4} = \frac{6}{8}$，再进行减法：
$$
\frac{7}{8} - \frac{6}{8} = \frac{1}{8}
$$
二、分式的乘除法
3. 计算：
$$
\frac{3}{5} \times \frac{10}{9}
$$
解析：
分子相乘，分母相乘：
$$
\frac{3 \times 10}{5 \times 9} = \frac{30}{45}
$$
约分后得：$\frac{2}{3}$
4. 计算：
$$
\frac{12}{15} \div \frac{4}{5}
$$
解析：
除以一个分数等于乘以它的倒数：
$$
\frac{12}{15} \times \frac{5}{4} = \frac{60}{60} = 1
$$
三、分式的混合运算
5. 计算：
$$
\left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) \times \frac{6}{5}
$$
解析：
先计算括号内的加法：
$$
\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}
$$
再进行乘法：
$$
\frac{5}{6} \times \frac{6}{5} = 1
$$
6. 计算：
$$
\frac{2}{3} + \frac{1}{4} \times \frac{8}{5}
$$
解析：
先算乘法部分：
$$
\frac{1}{4} \times \frac{8}{5} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}
$$
再进行加法：
$$
\frac{2}{3} + \frac{2}{5} = \frac{10}{15} + \frac{6}{15} = \frac{16}{15}
$$
四、分式的化简与求值
7. 先化简，再求值：
已知 $x = 2$，求
$$
\frac{x^2 - 4}{x - 2}
$$
解析：
分子可以因式分解：
$$
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
$$
所以原式化简为：
$$
\frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x + 2
$$
当 $x = 2$ 时，结果为：
$$
2 + 2 = 4
$$
8. 化简：
$$
\frac{a^2 - b^2}{a + b}
$$
解析：
分子为平方差公式：
$$
a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
$$
所以原式化简为：
$$
\frac{(a - b)(a + b)}{a + b} = a - b
$$
五、综合练习题（挑战题）
9. 计算：
$$
\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x(x+1)}
$$
解析：
通分后计算：
$$
\frac{(x+1) + x - 1}{x(x+1)} = \frac{2x}{x(x+1)} = \frac{2}{x+1}
$$
10. 已知：
$$
\frac{a}{b} = 3, \quad \frac{c}{d} = 2
$$
求：
$$
\frac{a + c}{b + d}
$$
解析：
令 $a = 3b$，$c = 2d$，代入得：
$$
\frac{3b + 2d}{b + d}
$$
此表达式无法进一步简化，但可作为练习题进行拓展思考。
通过以上练习题的训练，可以帮助学生加深对分式运算的理解，提高计算能力，为后续学习打下坚实基础。建议在做题过程中注意步骤清晰、符号准确，避免粗心导致的错误。
