在计算机科学与数学领域，离散数学是一门基础而重要的课程，它为算法设计、数据结构、逻辑推理以及计算机理论等提供了坚实的数学基础。为了帮助学生更好地掌握这门课程的核心内容，本文将提供一份《离散数学》的试题及详细解答，旨在帮助学习者巩固知识、查漏补缺。
一、选择题（每题2分，共10分）
1. 下列哪个集合是空集？
A. {x | x² = -1, x ∈ R}
B. {x | x < 0, x ∈ N}
C. {x | x > 5, x ∈ Z}
D. {x | x 是质数且 x < 2}
正确答案：A 和 D 都是空集，但若只能选一个，则选 A。
2. 设集合 A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}，则 A ∪ B 的元素个数为？
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
正确答案：B
3. 下列哪项不是命题？
A. 北京是中国的首都
B. 今天天气真好
C. 2 + 2 = 4
D. 请关上门
正确答案：D
4. 若 p → q 为假，则 p 和 q 的真假情况是？
A. p 为真，q 为真
B. p 为真，q 为假
C. p 为假，q 为真
D. p 为假，q 为假
正确答案：B
5. 在图论中，一个无向图 G 中有 5 个顶点，每个顶点的度数都是 2，则该图的边数为？
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
正确答案：D
二、填空题（每空2分，共10分）
1. 命题“如果今天下雨，那么我就不去学校”的逆否命题是__________________。
答案：如果我去学校，那么今天没有下雨。
2. 设 A = {a, b}, B = {b, c}，则 A × B = _________________。
答案：{(a, b), (a, c), (b, b), (b, c)}
3. 在一个完全二叉树中，若根节点编号为 1，那么其左子节点的编号为_________。
答案：2
4. 设 f: A → B 是一个函数，若对于任意 x1, x2 ∈ A，当 x1 ≠ x2 时，f(x1) ≠ f(x2)，则称 f 是_________函数。
答案：单射（或一一映射）
5. 在模 7 意义下，-3 的同余类是_________。
答案：4
三、简答题（每题5分，共10分）
1. 简述集合的并集与交集的定义，并举例说明。
答：集合的并集是指两个集合中所有元素的集合，记作 A ∪ B；交集则是两个集合中共同拥有的元素组成的集合，记作 A ∩ B。例如，若 A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则 A ∪ B = {1, 2, 3, 4}，A ∩ B = {2, 3}。
2. 什么是图的欧拉回路？请给出一个存在欧拉回路的图的例子。
答：欧拉回路是指经过图中每条边一次且仅一次，并最终回到起点的路径。一个图存在欧拉回路的充要条件是：该图是连通的，并且所有顶点的度数均为偶数。例如，一个正方形的图（四个顶点，四条边）就存在欧拉回路。
四、证明题（共10分）
证明：若 a ≡ b (mod m)，且 c ≡ d (mod m)，则 a + c ≡ b + d (mod m)。
证明：根据同余的定义，若 a ≡ b (mod m)，则 m | (a - b)；同理，m | (c - d)。因此，m | [(a - b) + (c - d)] = (a + c) - (b + d)，即 a + c ≡ b + d (mod m)。
通过这份试题与解析，希望同学们能够加深对离散数学基本概念的理解，提升逻辑思维能力和问题解决能力。在学习过程中，不仅要注重公式的记忆，更要理解其背后的数学思想和应用场景。
