在现代数据分析和科学研究中，多元统计分析作为一种重要的工具，被广泛应用于经济、社会学、生物医学、工程等多个领域。它不仅帮助我们理解多个变量之间的复杂关系，还能对数据进行有效的分类、降维和预测。为了更好地掌握这门课程的核心内容，以下是一些具有代表性的复习题目，旨在帮助学生巩固知识、提升应用能力。

一、选择题（每题2分，共10分）

1. 在多元统计分析中，用于衡量两个变量之间线性相关程度的指标是：

A. 方差

B. 协方差

C. 相关系数

D. 偏差

2. 下列哪种方法常用于处理高维数据的维度问题？

A. 主成分分析

B. 回归分析

C. 方差分析

D. T检验

3. 在因子分析中，若某变量在某个因子上的载荷值为0.85，说明该变量与该因子的关系是：

A. 弱相关

B. 中等相关

C. 强相关

D. 无相关

4. 判别分析中，假设各类别的协方差矩阵相等时，通常采用的是：

A. 线性判别函数

B. 非线性判别函数

C. 贝叶斯判别法

D. 最小距离判别法

5. 下列哪项不属于聚类分析的基本步骤？

A. 数据标准化

B. 选择距离度量方式

C. 确定聚类数量

D. 构建回归模型

二、简答题（每题5分，共20分）

1. 请简述主成分分析（PCA）的基本思想及其主要用途。

2. 解释协方差矩阵在多元统计分析中的作用。

3. 什么是因子分析？它与主成分分析有何异同？

4. 在判别分析中，为什么需要考虑各类别的协方差结构？

三、计算题（每题10分，共20分）

1. 设有三个变量 $ X_1, X_2, X_3 $，其协方差矩阵为：

$$

\Sigma = \begin{bmatrix}

4 & 1 & 2 \\

1 & 5 & 3 \\

2 & 3 & 6

\end{bmatrix}

$$

试求其特征值和对应的特征向量，并解释其在主成分分析中的意义。

2. 某研究者收集了某地区居民的身高（X1）、体重（X2）和血压（X3）数据，现需使用聚类分析将其分为两类。请写出完整的聚类分析步骤，并说明如何评估聚类效果。

四、论述题（10分）

结合实际案例，论述多元统计分析在现实问题解决中的重要性，并举例说明至少两种常用的多元统计方法及其应用场景。

通过以上复习题的练习，不仅可以加深对多元统计分析理论的理解，也能提升实际操作能力。建议在复习过程中结合教材、课件和实际案例进行系统学习，以达到最佳的学习效果。