在高等数学的学习过程中，二重积分是一个非常重要的概念。它不仅是解决实际问题的重要工具，也是理解多元函数性质的关键环节。为了帮助大家更好地掌握这一知识点，下面将通过一些精选的练习题来巩固相关理论。

练习题一：

计算以下区域上的二重积分：

\[ D = \{(x, y) | 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq x^2\} \]

\[ \iint_D (x + y) \, dx \, dy \]

解答步骤如下：

1. 根据题目给出的区域D，确定积分限。

2. 将原函数拆分为两部分分别进行积分。

3. 对每个变量依次求积，注意保持积分顺序一致。

练习题二：

设 \( f(x,y) = e^{xy} \)，计算其在矩形区域 \( R=[0,1] \times [0,1] \) 上的二重积分。

此题需要特别注意指数函数的特性以及如何选择合适的变量替换简化计算过程。

练习题三：

考虑圆形区域 \( C: x^2+y^2 \leq 4 \)，求函数 \( g(x,y)=x^2+y^2 \) 在该区域内的平均值。

提示：可以利用极坐标变换简化计算，并记住平均值公式为积分值除以区域面积。

以上三道题目涵盖了不同类型的二重积分计算方法，包括直角坐标系下的直接积分、变量替换法以及极坐标的应用等技巧。希望大家能够通过这些练习加深对二重积分的理解，并提高解题能力。如果还有任何疑问或需要进一步解释的地方，请随时提问！