大家好！今天我们来一起探讨《经济数学基础12》中的几个典型习题。这些题目不仅涵盖了课程的核心知识点，还能够帮助我们更好地理解数学在经济学中的应用。

首先来看第一题：假设某商品的需求函数为Q = 100 - 2P，其中Q表示需求量，P表示价格。求当价格从20元上升到30元时，需求的价格弹性是多少？

解答过程如下：

1. 需求的价格弹性公式为：E = (dQ/dP) (P/Q)

2. 根据需求函数Q = 100 - 2P，我们可以得到dQ/dP = -2

3. 当P=20时，Q=100-220=60；当P=30时，Q=100-230=40

4. 将数据代入弹性公式：E = (-2) (20/60) ≈ -0.67 或 E = (-2) (30/40) ≈ -1.5

这说明随着价格的上升，需求对价格的敏感度逐渐增加。

接下来是第二题：设生产函数为Y = K^αL^(1-α)，其中Y表示总产出，K表示资本投入，L表示劳动投入，α为常数且0<α<1。试证明该生产函数具有规模报酬不变的特性。

证明过程如下：

1. 规模报酬不变的定义是：如果所有投入要素按同一比例λ扩大，则产出也按相同的比例λ扩大。

2. 假设K和L同时扩大λ倍，则新的生产函数为Y' = (λK)^α(λL)^(1-α)

3. 化简后得到Y' = λ^αλ^(1-α)Y = λY

4. 因此，该生产函数确实具有规模报酬不变的特性。

最后是第三题：已知某企业的成本函数C(Q) = Q^3 - 6Q^2 + 9Q + 10，求其边际成本函数，并确定产量Q为何值时边际成本最小？

解答过程如下：

1. 边际成本函数MC = dC(Q)/dQ = 3Q^2 - 12Q + 9

2. 要使边际成本最小，需令MC的一阶导数为零，即d(MC)/dQ = 6Q - 12 = 0

3. 解得Q = 2

4. 验证二阶导数d²(MC)/dQ² = 6 > 0，说明此时边际成本达到最小值。

以上就是本次作业讲解的主要内容。希望大家通过这次的学习能够加深对这些概念的理解，并能够在实际问题中灵活运用。如果有任何疑问或需要进一步解释的地方，请随时提问！

谢谢大家的聆听，我们下次再见！