在概率论与数理统计中，二项分布是一种重要的离散型随机变量分布。它描述了在独立重复试验中，成功次数的概率分布情况。本文将从二项分布的基本定义出发，逐步推导其方差公式。
一、二项分布的基本定义
假设我们进行 \( n \) 次独立重复试验，每次试验有两种可能的结果：“成功”或“失败”。设每次试验成功的概率为 \( p \)，失败的概率为 \( 1-p \)。令 \( X \) 表示 \( n \) 次试验中成功的次数，则 \( X \) 的概率质量函数为：
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, 2, \dots, n
\]
其中，\( \binom{n}{k} \) 是组合数，表示从 \( n \) 次试验中选择 \( k \) 次成功的组合方式。
二、期望值 \( E(X) \) 的推导
根据二项分布的性质，随机变量 \( X \) 的期望值可以直接计算为：
\[
E(X) = np
\]
这是因为每次试验的成功概率为 \( p \)，而 \( X \) 是 \( n \) 次独立试验中成功的总次数。
三、方差 \( Var(X) \) 的推导
方差的定义为：
\[
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
\]
因此，我们需要先计算 \( E(X^2) \)。
1. 计算 \( E(X^2) \)
利用二项分布的性质，可以写出 \( E(X^2) \) 的表达式：
\[
E(X^2) = \sum_{k=0}^{n} k^2 P(X = k)
\]
代入 \( P(X = k) \) 的公式：
\[
E(X^2) = \sum_{k=0}^{n} k^2 \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
\]
通过数学推导（这里省略中间步骤），可以得到：
\[
E(X^2) = np + n(n-1)p^2
\]
2. 代入方差公式
将 \( E(X^2) \) 和 \( E(X) \) 的结果代入方差公式：
\[
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
\]
\[
Var(X) = np + n(n-1)p^2 - (np)^2
\]
化简后得到：
\[
Var(X) = np(1-p)
\]
四、结论
综上所述，二项分布的方差公式为：
\[
Var(X) = np(1-p)
\]
该公式表明，二项分布的方差仅依赖于试验次数 \( n \) 和单次试验的成功概率 \( p \)，且当 \( p \) 接近 0 或 1 时，方差会减小。
通过上述推导过程，我们可以清晰地理解二项分布方差公式的来源及其意义。希望本文能够帮助读者更好地掌握这一重要概念。
