在数学中，复数是一种重要的概念，它由实部和虚部组成，通常表示为a+bi的形式，其中a是实部，b是虚部，i代表虚数单位，满足i²=-1。复数的引入极大地扩展了数学的研究领域，并且在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。掌握复数的基本运算规则对于深入学习相关学科至关重要。

一、复数的乘法运算

复数的乘法遵循分配律、结合律以及交换律。当两个复数z₁=a+bi和z₂=c+di相乘时，其结果为：

z₁·z₂=(ac-bd)+(ad+bc)i

这个公式可以通过将复数视为多项式来推导得出。例如，(3+4i)·(2-5i)，我们先按照多项式的乘法规则展开：

(3+4i)·(2-5i)=6-15i+8i-20i²

由于i²=-1，因此上式可以进一步简化为：

6-15i+8i+20=26-7i

所以，(3+4i)·(2-5i)=26-7i。

二、复数的除法运算

复数的除法需要借助共轭复数的概念。如果要计算z₁/z₂（z₂≠0），首先需要找到z₂的共轭复数z₂，即把z₂中的虚部符号取反得到c-di。然后，将分子与分母同时乘以z₂，使得分母成为实数。具体步骤如下：

1. 找到z₂的共轭复数z₂=c-di；

2. 计算分子部分(z₁·z₂)；

3. 计算分母部分(z₂·z₂)；

4. 最终结果为分子除以分母，即z₁/z₂=(z₁·z₂)/(z₂·z₂)。

举例说明，假设z₁=5+3i，z₂=2-i，则z₂的共轭复数为z₂=2+i。接下来分别计算分子和分母：

分子：(5+3i)(2+i)=10+5i+6i+3i²=10+11i-3=7+11i

分母：(2-i)(2+i)=4+2i-2i-i²=4+1=5

因此，z₁/z₂=(7+11i)/5=7/5+(11/5)i。

通过以上方法，我们可以轻松完成复数的乘除运算。熟练掌握这些技巧不仅有助于解决复杂的数学问题，还能为其他领域的研究提供有力支持。