在现代工程计算和数据分析领域，Levenberg-Marquardt（LM）算法因其在非线性最小二乘问题中的高效性和稳定性而备受关注。本文将从理论基础出发，逐步介绍如何利用MATLAB实现LM算法，并通过实例展示其应用效果。

首先，我们需要了解LM算法的基本原理。该算法结合了梯度下降法和高斯-牛顿法的优点，在迭代过程中动态调整参数以平衡全局搜索与局部优化的能力。当目标函数接近极值点时，LM算法能够自动切换至更稳健的梯度下降路径；而在远离极值点时，则采用高斯-牛顿法快速逼近最优解。

接下来是MATLAB程序的设计过程。为了便于理解，我们选择了一个经典的非线性回归问题作为案例——拟合多项式曲线。具体步骤如下：

1. 数据准备：生成一组随机分布的数据点作为输入样本。

2. 模型定义：设定多项式形式y = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中a、b、c、d为待求参数。

3. 误差函数构造：定义均方误差（MSE）作为评价指标。

4. 初始化参数：随机选取初始值并设置收敛阈值及最大迭代次数。

5. 迭代更新：根据当前残差矩阵构建雅可比矩阵，并通过求解线性方程组获得下一组参数估计值。

6. 终止条件判断：若满足精度要求或达到最大迭代次数，则停止计算。

在编写代码时，应注意以下几点：

- 使用符号变量表示多项式的各项系数，方便后续操作；

- 利用向量化运算提高执行效率；

- 引入正则化项增强数值稳定性。

最后，通过可视化工具展示拟合结果与原始数据之间的对比情况，验证算法的有效性。此外，还可以尝试调整初始参数或者改变多项式的阶数来观察不同情形下的表现差异。

总之，LM算法作为一种强大的非线性优化工具，在解决实际问题中具有广泛的应用前景。借助MATLAB强大的数学计算环境，我们可以轻松地实现这一算法并对其进行扩展和完善。希望本文提供的思路和示例能够为读者提供一定的启发和帮助。