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不定积分例题及参考答案

2025-05-27 16:57:16

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2025-05-27 16:57:16

不定积分例题及参考答案

在高等数学的学习过程中,不定积分是一个重要的概念。它不仅是解决许多实际问题的基础工具,也是理解函数性质的重要途径。本文将通过几个典型的不定积分例题,帮助读者更好地掌握这一知识点。

例题一:计算 $\int x^3 dx$

解法:

$$

\int x^3 dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C

$$

例题二:计算 $\int e^{2x} dx$

解法:

令 $u = 2x$,则 $du = 2dx$,所以 $dx = \frac{du}{2}$。

$$

\int e^{2x} dx = \int e^u \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} e^u + C = \frac{1}{2} e^{2x} + C

$$

例题三:计算 $\int \sin(3x) dx$

解法:

$$

\int \sin(3x) dx = -\frac{\cos(3x)}{3} + C

$$

以上三个例题展示了不定积分的基本解法。通过这些练习,我们可以看到,不定积分的核心在于找到原函数,并加上任意常数 $C$。

希望这些例题和解答能够帮助你更好地理解和掌握不定积分的概念和应用。如果还有其他疑问,欢迎继续探讨!

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