在数学中，三角函数是一类非常重要的函数，广泛应用于几何学、物理学以及工程学等领域。它们不仅描述了角度与边长之间的关系，还拥有丰富的性质和恒等式。为了更好地理解和应用这些函数，下面将全面整理并总结三角函数的基本关系式。
一、基本定义
假设在一个直角三角形中，设角为θ，则有以下定义：
- 正弦 (sin)：对边 / 斜边
- 余弦 (cos)：邻边 / 斜边
- 正切 (tan)：对边 / 邻边
此外还有三个辅助函数：
- 余割 (csc)：斜边 / 对边 = 1 / sin
- 正割 (sec)：斜边 / 邻边 = 1 / cos
- 余切 (cot)：邻边 / 对边 = 1 / tan
二、基本恒等式
以下是三角函数之间的一些基本关系式：
1. 勾股定理相关
$$
\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1
$$
$$
\tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta
$$
$$
\cot^2\theta + 1 = \csc^2\theta
$$
2. 商数关系
$$
\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}, \quad \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}
$$
3. 互余关系
$$
\sin(90^\circ - \theta) = \cos\theta, \quad \cos(90^\circ - \theta) = \sin\theta
$$
$$
\tan(90^\circ - \theta) = \cot\theta, \quad \cot(90^\circ - \theta) = \tan\theta
$$
三、倍角公式
利用倍角公式可以计算两倍角度的值：
$$
\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta
$$
$$
\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta
$$
$$
\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}
$$
四、和差化积公式
当涉及多个角度时，和差化积公式非常有用：
$$
\sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)
$$
$$
\sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)
$$
$$
\cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)
$$
$$
\cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)
$$
五、积化和差公式
与上述相反，积化和差公式则用于将乘积形式转化为加减形式：
$$
\sin A \cdot \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)]
$$
$$
\cos A \cdot \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) + \cos(A+B)]
$$
$$
\sin A \cdot \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]
$$
六、反三角函数
反三角函数是三角函数的逆运算，用于求解已知值对应的角：
$$
\arcsin(x) + \arccos(x) = 90^\circ
$$
$$
\arctan(x) + \arccot(x) = 90^\circ
$$
通过以上归纳，我们可以看到三角函数具有严密的逻辑性和高度的对称性。熟练掌握这些关系式，不仅能帮助解决复杂的数学问题，还能在实际应用中提供极大的便利。希望这篇整理能够为你学习或复习三角函数提供有力支持！
